音程の数学的な話

1オクターブ

音の高さは周波数Hz（ヘルツ）で表します。そして1オクターブ高い音はちょうど2倍の周波数になります。まずはこれが大前提です。1オクターブはとても特殊でとても離れているにもかかわらず、同じような音に感じられます。オーケストラでチェロとコントラバスが同じ旋律を1オクターブ違いで演奏することが多々ありますが、2つの声部と言うより同じ声部が増強されたように聞こえてきますし、男性と女性が同じメロディーを同時に歌うと、本当は1オクターブ違うのですが、同じものを歌っているように感じられます。このように2倍の周波数は同じ音に感じられるほど近い響きになります。

周波数

1オクターブ高い音は100HZの場合200HZになります。その幅は100Hzです。この間に半音が12入りますので、半音の幅は100を12で割ると出てきそうですが、そんなに簡単ではありません。200Hzの1オクターブ上は400Hzです.今度は幅が200Hzになりますし、さらにその1オクターブ上は800Hzで幅が400Hzになります。ということで、半音の幅は何Hzだということは出来ません。ではどういう計算になるかというと、半音高い音は2の12乗根をかけた周波数になります。記号で書きたいのですが、キーボードで打てないので画像を貼ります。

数学の苦手な人にとっては頭が痛くなるような話だと思います。分からなくて大丈夫ですので、このまま読み進めていってください。この記号の意味は12回かけ算をすると2になる数という意味です。これが半音の幅で、計算すると1.059463094になります。基準になる周波数にこの数をかけると半音上、これを2回かけると長2度上の周波数が分かります。これで作られた音階が平均律になります。

純正律

理論的にはこうなのですが、実際は周波数を正しく測れる機械が無ければこの平均律は作れません。そこで別の方法で音階を作っていました。2倍の周波数で1オクターブ上の音になりますが、1.5倍の周波数で完全5度上の音になります。ドとソのような関係です。計算しやすいように200Hzを基準に考えてみます。1.5倍は300Hzです。きれいな数字になりますし、このようにきれいな関係になればなるほど良く溶け合う音になります。先ほどの計算でも完全5度上の音の周波数は計算できます。完全5度上には半音7個分高くしますので、先ほどの2の12乗根を7回かけ算します。計算すると1.498307077になります。1.5倍ではありません。200Hzの完全5度上が1.5倍の計算では300Hzだったのが平均律では299.6614154Hzになります。ほんの少しですが、平均律の方が低くなります。これが純正律と平均律の違いになります。

平均律と純正律

こうなると2つの違った音階が出来て使い分けなければならないような気もしますが、そんなことは出来ません。ピアノは平均律で調律しますので、ピアノとのアンサンブルの時は平均律で歌い、アカペラの合唱の場合は純正律で歌うなど出来るものではありません。完全5度はほんの少しの差でしたが、長3度はもう少し大きく違います。平均律よりも純正律の方が低くなりますが、意識して少し低めに歌うなどの必要はありません。ただただ良くハモるように歌うだけです。よっぽど精度の高い平均律の絶対音感を持っていたとしても、ハモる感覚に抗って平均律で歌いきるなど気持ち悪くて出来たものではありません。純正律できれいなハーモニーを作るために平均律との違いを調べて、いつもより低くとか高くとか意識する必要もありません。